Teori Estimasi

BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penggunaan statistik sudah dikenal sebelum abad 18, pada saat itu Negara-negara babilon, Mesir dan Roma mengeluarkan catatan tentang nama, usia, jenis kelamin, pekerjaan dan jumlah anggota keluarga. Kemudian pada tahun 1500, pemerintah Inggris mengeluarkan catatan mingguan tentang kematian. Baru pada tahun 1772-1791, G.Achenwall menggunakan istilah statistika sebagai kumpulan data tentang negara. Tahun 1791-1799, DR.E.A.W Zimmesman emngenalkan kata statistika dalam bukunya Statistical Account of Scotland. Pada tahun 1918-1935, R. Fisher mengenalkan analisa varians dalam literature statistiknya.
Hampir dalam tiap bidang baik pemerintahan, pendidikan, perekonomian, perindustrian, atau lainnya akan menghadapi persoalan yang diantaranya dinyatakan dengan angka-angka. Kumpulan angka-angka ini biasanya disusun dalam tabel atau daftar disertai diagram atau grafik. Kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah yang dapat memberi gambaran mengenai masalah tersebut dinamakan statistik, seperti statistik penduduk, statistik kelahiran, statistik pendidikan dan lain-lain. Statistik juga diartikan sebagai ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu.
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan bahan-bahan atau keterangan, pengolahan serta penganalisisan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang beralasan berdasarkan penganalisisan yang dilakukan. Bagian statistika yang berhubungan dengan pembuatan kesimpulan mengenai populasi dinamakan statistika induktif, sedang bagian yang lainnya dinamakan statistika deskriptif.
Menurut sifatnya data dibedakan menjadi :
(1). Data Kualitatif : data yang berbentuk kategori atau atribut.
(2). Data Kuantitatif : data yang berbentuk bilangan, data ini dibagi lagi menjadi dua yaitu data diskrit yang merupakan data hasil membilang dan data kontinu yang merupakan data hasil mengukur.
Populasi sering diartikan kesatuan persoalan secara menyeluruh yang sudah ditentukan batasnya secara. Sedangkan sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi yang dianggap mewakili populasi atau karakteristiknya dianggap mewakili populasi. Cara pengambilan sampel dari populasi dilakukan dengan teknik-teknik sampling yang sah.

Tujuan
Agar kita sebagai Mahasiswa dapat mengaplikasikan kegunaan Teori Estimasi dalam pengolahan data

Ruang Lingkup
Menaksir selisih rata-rata
Menaksir selisih proporsi
Menentukan ukuran sampel

BAB II
PEMBAHASAN

Menaksir Selisih Rata-rata
Misalkan kita mempunyai dua buah populasi yang berdistribusi normal, yaitu N (μ_1,σ_1) dan N (μ_2,σ_2). Dari populasi tersebut akan ditaksir selisih rata-rata dari kedua populasi itu (μ_1 – μ_2) berdasarkan sampel berukuran n1 dengan rata-rata ¯x_1 dan simpangan baku s1 dan sampel berukuran n2 dengan rata-rata ¯x_2 dan simpangan baku s2. Titik taksiran untuk (μ_1- μ_2) adalah (x ̅_1-x ̅_2 ). Adapun interval taksirannya yaitu untuk:
σ1=σ2
Jika populasi normal itu mempunyai σ1=σ2=σ dan besarnya diketahui, maka 100 γ % interval kepercayaan untuk (μ1-μ2) ditentukan oleh rumus
(x ̅_1-x ̅_2 )-z_(1/2 γ).σ√(1/n1+1/n2 ) < μ1-μ2 < (x ̅_1-x ̅_2 )+z_(1/2 γ).σ√(1/n1+1/n2 )
Dengan z_(1/2 γ) didapat dari daftar normal baku dan peluang 1/2 γ.
Dalam hal σ1=σ2=σ yang tidak diketahui besarnya, pertama-tama dari sampel-sampel kita perlu tentukan varians gabungan ( s^(2 )) besarnya diberikan oleh rumus:
s^2=((n_1-1) 〖s_1〗^2+(n_2-1) 〖s_2〗^2)/(n_1+ n_2-2)
Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student. Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan ( μ1 – μ2 ) adalah:
(x ̅_1-x ̅_2 )-t_p.s √(1/n1+1/n2 ) < μ1-μ2 < (x ̅_1-x ̅_2 )+t_p.s √(1/n1+1/n2 )

Dengan s didapat dari Rumus varians gabungan dan tp didapat dari daftar distribusi Student (Lampiran) dengan p=1⁄2(1+γ) dan dk = ( n1 + n2 – 2 )

σ1 ≠ σ2
Untuk populasi normal dengan σ1 ≠ σ2, teori di atas tidak berlaku dan teori yang ada hanya bersifat pendekatan.
Dengan memisalkan s1 = σ1 dan s2 = σ2, untuk sampel-sampel acak berukuran cukup besar, kita dapat melakukan pendekatan kepada distribusi normal. Rumus interval kepercayaannya ditentukan oleh:
(x ̅_1-x ̅_2 )-z_(1/2γ) √(〖s_1〗^2/n1+〖s_2〗^2/n2 ) < μ1-μ2 < (x ̅_1-x ̅_2 )+z_(1/2γ) √(〖s_1〗^2/n1+〖s_2〗^2/n2 )
dengan z_(1/2γ) didapat dari daftar normal baku dengan peluang 1/2γ.
Penggunaan Rumus ini harus hati-hati sekali karena bukan saja pendekatan kepada distribusi normal yang mungkin meragukan, tetapi juga asumsi bahwa varians sampel sama dengan varians populasi.
Contoh:
Ada dua pengukuran untuk mengukur kelembaban sesuatu zat. Cara 1 dilakukan 50 kali yang menghasilkan( x) ̅_1= 60,2 dan 〖s_1〗^2=24,7. Cara II dilakukan 60 kali dengan ( x) ̅_2=70,4 dan 〖s_2〗^2=37,2. Tentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu ?
Penyelesaian:
Jika dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal, maka didapat varians gabungan
s^2=((n_1-1) 〖s_1〗^2+(n_2-1) 〖s_2〗^2)/(n_1+ n_2-2)
s^2=((50-1)24,7+(60-1)37,2)/(50+ 60-2)=31,53
Selanjutnya dihitung dulu
s √(1/n1+1/n2 )=√(31,53/50+31,53/60 =) 1,08
Dengan p = 0,975 dan dk = 108, dari daftar distribusi t didapat t = 1,984 maka diperoleh
(70,4-60,2)-(1,984)(1,08)<μ_(1-) μ_2<(70,4-60,2)+(1,984)(1,08)
Atau 8,06<μ_(1-) μ_2<12,34
Jadi 95% percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran kedua cara itu akan ada dalam interval yang di batasi oleh 8,06 dan 12,34.
Observasi berpasangan
Misalkan populasi kesatu mempunyai variabel acak X dan populasi kedua dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing μx dan μy. Diambil dua sampel acak masing-masing sebuah dari tiap populasi, yang berukuran sama, jadi n1 = n2 = n. Didapat data sampel:
( x1, x2, ….., xn ) dan ( y1, y2, ….., yn ). Kedua data hasil observasi ini dimisalkan berpasangan sebagai berikut:
x1 berpasangan dengan y1
x2 berpasangan dengan y2
………………………………….
………………………………….
xn berpasangan dengan yn
dalam hal pasangan data seperti begini, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata μB = μx – μy, dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data. Jadi dicari B1 = x1 – y1, B2 = x2 – y2, ………, Bn = xn – yn.
Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari B1,B2, ….., Bn supaya dihitung rata-rata B ̅ dan simpangan sB dengan menggunakan
B ̅=(∑▒B_i )/n dan 〖s_B〗^2= (n∑▒〖〖B_i〗^2-(∑▒〖B_i)〗^2 〗)/(n(n-1))
100γ % interval kepercayaan untuk μB ditentukan oleh:
B ̅-t_p.s_(B ) √n<μ_B<B ̅+t_p.s_(B ) √n
Dengan tp didapatdari daftar distribbusi student untuk p = 1/2 (1+γ) dan dk = (n-1)
Contoh
Tinggi anak Tinggi ayah Beda (B) B2
(1) (2) (3) (4)
158 161 -3 9
160 159 1 1
163 162 1 1
157 160 -3 9
154 156 -2 4
164 159 5 25
169 163 6 36
158 160 -2 4
162 158 4 16
161 160 1 1
Jumlah 8 106

Untuk menentukan interval taksiran beda rata-rata tinggi badan dibuat kolom (3) dan (4) yang berisikan B dan B2 dengan B = X-Y. Didapat statistik:
B ̅=0,8 dan 〖s_B〗^2=(10(106)-64)/(10×9)=11.07
Dengan mengambil asumsi tinggi badan berdistribusi normal dan tinggi anak berpasangan dengan tinggi ayah, maka kita dapat menentukan interval kepercayaan 95% untuk μB, ialah:
B ̅-t_p.s_(B ) √n<μ_B<B ̅+t_p.s_(B ) √n
0,8-(2,26) √(11.07/10)<μ_B<0,8+(2,26)√(11.07/10)
Atau -1,6<μ_B<3,2

Menaksir Selisih Proporsi
Kita mempunyai dua populasi binom dengan parameter untuk peristiwa yang sama masing-masing π_1 dan π_2. Dari populasi ini secara independen masing-masing diambil sebuah sampel secara acak berukuran n1 dari populasi kesatu dan n2 dari populasi kedua. Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan dari sampel-sampel itu adalah p1 = x1/n1 dengan x1 dan x2 adalah berturut-turut menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan yang didapat di dalam sampel kesatu dan kedua.akan ditentukan interval taksiran untuk (π_1-π_2). Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal asalkan n1 dan n2 cukup besar. Rumus yang digunakan untuk interval kepercayaan 100 γ % selisih (π_1-π_2) adalah:
(p_1-p_2 )-z_(1/2 γ) √((p_1 q_1)/n_1 +(p_2 q_2)/n_2 )<π_1-π_2
<(p_1-p_2 )+z_(1/2 γ) √((p_1 q_1)/n_1 +(p_2 q_2)/n_2 )
dengan q1 = 1 – p1, q2 = 1 – p2 dan z_(1/2 γ) didapat dari daftar normal baku dengan peluang 1/2 γ.
Contoh:
Dua sampel acak yang satu terdiri dari 500 pemudi dan satu lagi 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran telah diambil. Ternyata bahwa 325 pemudi dan 400 pemuda menyenagi pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyenaginya.
Jawab:
Persentase yang menyenangi pameran
untuk pemudi = p1 = 325/500×100%=65%
untuk pemuda = p2 = 400/700×100%=57%
Jadi, q1 = 35% dan q2 = 43%.
Dengan n1 = 500 dan n2 = 700, didapat
√((p_1 q_1)/n_1 +(p_2 q_2)/n_2 )=√((0,65×0,35)/500+(0,57×0,43)/700)=0,0284
Dari rumus, dengan z = 1,96 diperoleh:
0,65-0,57-(1,96)(0,0284)< π_1-π_2<0,65-0,57+(1,96)(0,0284)
atau 0,024< π_1-π_2 ((2,58*0,5)/0,05)^2= 665,4
Oleh karena ukuran sampel harus merupakan bilangan diskrit, maka paling sedikit n = 666. Jadi paling sedikit sampel itu harus terdiri atas 666 mahasiswa.

Jika yang ditaksir itu proporsi π oleh satistik p = x/n, maka beda yang terjadi besarnya b = |µ – p |. Dengan memisalkan bahwa pendekatan distribusi normal kepada binom berlaku dan koefisien kepercayaan = γ, maka ukuran sampel dapat ditentukan dari rumus :
n > π (1 – π) (z_(1/γ)/b)^2
Kecuali jika varians π (1 – π)diketahui, maka dalam lain rumus di atas tidak dapat digunakan. Dalam hal ini yang π (1 – π) diganti oleh harga maksimumnya adalah 0,25.
Contoh 2:
Misalkan Departemen P dan K perlu mengetahui ada berapa persen kira-kira anak-anak SD yang bercita-cita ingin menjadi guru. Ketika melakukan perkiraan ini, koefisien kepercayaan diambil 95% dengan kekeliruan menaksir lebihdari dua persen. Berapa anak SD yang perlu diteliti?
Penyelesaian:
Disini varians π (1 – π) harus diambil 0,25 karena soal tersebut sama sekali tidak menyebutkan tentang harga π . Dengan b = 0,02 dan z = 1,96 dari Rumus didapat :
n > (0,25) (1,96/0,02)^2 = 2.401
Jadi,Sampel itu paling sedikit harus terdiri dari 2401 anak-anak SD
Contoh 3 :
Jika untuk contoh diatas, dari pengalaman diketahui ada 12% anak bercita-cita ingin menjadi guru, tentukan berapa ukuran sampel skarang?
Penyelesaian :
Ke dalam rumus di atas kita subtitusikan π = 0,12 dan (1 – π) = 0,88, b = 0,02 dari z = 1,96. Didapat hasil ;
n > (0,12) (0,88) (1,96/0,02)^2= 1.014, 18
Paling sedikit sampel iu terdiri dari 1.015 anak

About byulovers

me....?? a KPopers, ELF yang jadi MVP (?) hahaha, nice to meet you... (*-*)/ Music Playlist at MixPod.com
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s